数学 - 群論 - 群とその例(有限集合, 結合的な乗法, 簡約律)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群論)、2(群とその例)、問4.を解いてみる。

問4.

$\begin{array}{l}a\in G\\ f:G\to G\\ f\left(x\right)=ax\\ \forall x_1,x_2\in G\left[f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\Rightarrow a{x}_1=a{x}_2\Rightarrow x_1=x_2\right]\\ 0<cardG<{\aleph }_0\\ \forall y\in G\exists x\in G\left[f\left(x\right)=y\right]\\ g:G\to G\\ f\left(x\right)=xa\\ \forall x_1,x_2\in G\left[f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\Rightarrow x_{1}a=x_{2}a\Rightarrow x_1=x_2\right]\\ 0<cardG<{\aleph }_0\\ \forall y\in G\exists x\in G\left[g\left(x\right)=y\right]\\ \forall b\in G\exists u,v\in G\left[f\left(u\right)=b\wedge g\left(v\right)=b\right]\\ \forall b\in G\exists u,v\in G\left[au=b\wedge va=b\right]\end{array}$