数学 – 群論 - 写像(像, 和集合, 共通部分)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群論)、1(写像)、問1-a.を解いてみる。

問1-a.

$\begin{array}{l}y\in f\left(U\cup W\right)\\ \exists x\in U\cup W\left[f\left(x\right)=y\right]\\ \Rightarrow \exists x_1\in U\left[f\left(x_1\right)=y\right]\vee \exists x_2\in W\left[f\left(x_2\right)=y\right]\\ \Rightarrow y\in f\left(U\right)\vee y\in f\left(W\right)\\ \Rightarrow y\in f\left(U\right)\cup f\left(W\right)\\ f\left(U\cup W\right)\subset f\left(U\right)\cup f\left(W\right)\\ \\ y\in f\left(U\right)\cup f\left(W\right)\\ \Rightarrow y\in f\left(U\right)\vee f\left(W\right)\\ \Rightarrow \exists x_1\in U\left[f\left(x_1\right)=y\right]\vee \exists x_2\in W\left[f\left(x_2\right)=y\right]\\ \Rightarrow \exists x\in U\cup W\left[f\left(x\right)=y\right]\\ \Rightarrow y\in f\left(U\cup W\right)\\ f\left(U\right)\cup f\left(W\right)\subset f\left(U\cup W\right)\\ \\ f\left(U\cup W\right)=f\left(U\right)\cup f\left(W\right)\\ \\ y\in f\left(U\cap W\right)\\ \exists x\in U\cap W\left[f\left(x\right)=y\right]\\ \Rightarrow y\in f\left(U\right)\wedge y\in f\left(W\right)\\ \Rightarrow y\in f\left(U\right)\cap f\left(W\right)\\ \\ f\left(U\cap W\right)\subset f\left(U\right)\cap f\left(W\right)\end{array}$