数学 – 集合と写像 - 同値関係(反射律, 対象律, 推移律)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、6(同値関係)、問題1.を解いてみる。

問題1.

1. 
   $\begin{array}{l}a,b\in R\\ ab\ge 0\\ \\ \forall x\in R\left[x^2\ge 0\right]\\ \forall x,y\in R\left[xy\ge 0\Rightarrow yx\ge 0\right]\\ -1·0=0\ge 0\\ 0·1=0\ge 0\\ -1··1=-1<0\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}a,b\in \mathbb{N}-\left\{0\right\}\\ \frac{a}{b}\le 1\\ \\ \forall x\in \mathbb{N}-\left\{0\right\}\left[\frac{x}{x}=1\le 1\right]\\ \forall x,y,z\in \mathbb{N}\left[\frac{x}{y}\le 1\wedge \frac{y}{z}\le 1\Rightarrow \frac{x}{z}=\frac{x}{y}·\frac{y}{z}\le 1\right]\\ \frac{1}{2}\le 1,\frac{2}{1}=2>1\end{array}$