数学 – 整数 - 1次の合同式(素数, 係数, 互いに素)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、7(1次の合同式)、問10.を解いてみる。

問10.

$\begin{array}{l}\left(a,p\right)=1\\ a{\left(-1\right)}^{a-1}a\text{'}-1\\ =a{\left(-1\right)}^{a-1}\frac{1}{p}\left(\begin{array}{l}p\\ a\end{array}\right)-1\\ ={\left(-1\right)}^{a-1}\left(\begin{array}{l}p-1\\ a-1\end{array}\right)-1\\ \equiv {\left(-1\right)}^{a-1}{\left(-1\right)}^{a-1}-1\\ ={\left(-1\right)}^{2\left(a-1\right)}-1\\ =1-1=0\left(\mathrm{mod}p\right)\\ a{\left(-1\right)}^{a-1}a\text{'}\equiv 1\left(\mathrm{mod}p\right)\end{array}$