数学 – 集合と写像 - 写像に関する諸概念(合成写像, 部分集合, 逆像)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題9-a, b.を解いてみる。

問題9-a, b.

1. 
   $\begin{array}{l}x\in P\\ \Rightarrow x\in A\\ \Rightarrow \left(g°f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}x\in {\left(g°f\right)}^{-1}\left(R\right)\\ \iff \left(g°f\right)\left(x\right)\in R\\ \iff g\left(f\left(x\right)\right)\in R\\ \iff f\left(x\right)\in g^{-1}\left(R\right)\\ \iff x\in f^{-1}\left(g^{-1}\left(R\right)\right)\end{array}$