数学 – 集合と写像 - 写像に関する諸概念(写像の合成 全単射, 逆写像)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題8.を解いてみる。

問題8.

$\begin{array}{l}c\in C\\ \exists 1a_0\in A\left[{\left(g°f\right)}^{-1}\left(c\right)=\left\{a_0\right\}\right]\\ f^{-1}°g^{-1}\left(c\right)\\ \exists 1b_0\in B,\exists 1a_1\left[g^{-1}\left(c\right)=\left\{b_0\right\}\wedge f^{-1}\left(b_0\right)=\left\{a_1\right\}\right]\\ g°f\left(a_1\right)=g\left(b_0\right)=c\\ g°f\left(a_0\right)=c\\ a_0=a_1\\ {\left(g°f\right)}^{-1}\left(c\right)=f^{-1}°g^{-1}\left(c\right)\end{array}$