数学 – 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(分配律の一般化)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題2.を解いてみる。

問題2.

$\begin{array}{l}x\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\overset{}{\cup }}{A}_{\lambda }}\right)\cap B\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\cap B\\ \iff \exists \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }\right]\wedge x\in B\\ \iff \exists \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }\cap B\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\overset{}{\cup }}\left(A_{\lambda }\cap B\right)}\\ \\ x\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)\cup B\\ \iff \forall \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }\right]\vee x\in B\\ \iff \forall \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }\vee x\in B\right]\\ \iff \forall \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }\cup B\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }\left(A_{\lambda }\cup B\right)}\end{array}$