数学 – 集合と写像 - 写像に関する諸概念(有限集合, 全射の総数, 配置集合)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題18-a.を解いてみる。

問題18-a.

$n^m$ は、AからBへの写像全部の集合(Aの上のBの配置集合)の要素数。

この写像の中で、値域の要素数がk個の写像の総数は、$\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)S\left(m,k\right)$ 個。そして、kが1からnまでの場合の和がAからBへの写像の集合の総数に一致する。よって、

$n^m={\displaystyle \sum _{k=1}^n\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)S\left(m,k\right)}$

である。