数学 – 集合と写像 - 写像に関する諸概念(合成写像, 恒等写像, 全単車, 逆写像)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

学習環境

• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題14.を解いてみる。

問題14.

$\begin{array}{l}y\in B\\ f°g\text{'}\left(y\right)=y\\ f\left(g\text{'}\left(y\right)\right)=y\\ g\text{'}\left(y\right)\in A\\ \\ b_1,b_2\in B\\ f\left(b_1\right)=f\left(b_2\right)\\ g\left(f\left(b_1\right)\right)=g\left(f\left(b_2\right)\right)\\ g°f\left(b_1\right)=g°f\left(b_2\right)\\ I_A\left(b_1\right)=I_a\left(b_2\right)\\ b_1=b_2\\ \\ b\in B\\ f°g\text{'}\left(b\right)=b\\ f\left(g^{\prime }\left(b\right)\right)=b\\ g°f\left(g\text{'}\left(b\right)\right)=g\text{'}\left(b\right)\\ g\left(f\left(g\text{'}\left(b\right)\right)\right)=g\text{'}\left(b\right)\\ g\left(b\right)=g\text{'}\left(b\right)\\ g=g\text{'}\\ \\ f^{-1}\left(b\right)\in A\\ g°f\left(f^{-1}\left(b\right)\right)=f^{-1}\left(b\right)\\ g\left(f\left(f^{-1}\left(b\right)\right)\right)=f^{-1}\left(b\right)\\ g\left(b\right)=f^{-1}\left(b\right)\\ g=f^{-1}\\ g=g\text{'}=f^{-1}\end{array}$