数学 – 集合と写像 - 集合間の演算(対称差(symmetric difference))

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、2(集合間の演算)、問題7.を解いてみる。

問題7.

$\begin{array}{l} x \in A Δ B \\ \Leftrightarrow x \in A - B \lor x \in B - A \\ \Leftrightarrow x \in B - A \lor x \in A - B \\ \Leftrightarrow x \in B Δ A \end{array}$
$\begin{array}{l} x \in A Δ B \\ \Leftrightarrow x \in (A - B) \cup (B - A) \\ \Leftrightarrow (x \in A \land x \notin B) \lor (x \in B \land x \notin A) \\ \Leftrightarrow (x \in A \land (x \notin A \lor x \notin B)) \lor (x \in B \land (x \notin A \lor x \notin B)) \\ \Leftrightarrow (x \in A \lor x \in B) \land (x \notin A \lor x \notin B) \\ \Leftrightarrow x \in A \cup B \land x \notin A \cap B \\ \Leftrightarrow x \in (A \cup B) - (A \cap B) \end{array}$
$\begin{array}{l} (A Δ B) Δ C \\ = ((A Δ B) \cap C^{c}) \cup ({(A Δ B)}^{c} \cap C) \\ = (((A \cap B^{c}) \cup (A^{c} \cap B)) \cap C^{c}) \cup ({((A \cap B^{c}) \cup (A^{c} \cap B))}^{c} \cap C) \\ = ((A \cap B^{c} \cap C^{c}) \cup (A^{c} \cap B \cap C^{c})) \cup (({(A \cap B^{c})}^{c} \cap {(A^{c} \cap B)}^{c}) \cap C) \\ = (A \cap B^{c} \cap C^{c}) \cup (A^{c} \cap B \cap C^{c}) \cup (((A^{c} \cup B) \cap (A \cup B^{c})) \cap C) \\ = (A \cap B^{C} \cap C^{c}) \cup (A^{c} \cap B \cap C^{c}) \cup (((A \cap B) \cup (A^{c} \cap B^{c})) \cap C) \\ = (A \cap B^{C} \cap C^{c}) \cup (A^{c} \cap B \cap C^{c}) \cup ((A \cap B \cap C) \cup (A^{c} \cap B^{c} \cap C)) \\ = (A \cap B^{C} \cap C^{c}) \cup (A^{c} \cap B \cap C^{c}) \cup (A \cap B \cap C) \cup (A^{c} \cap B^{c} \cap C) \\ = (A \cap B \cap C) \cup (A \cap B^{c} \cap C^{c}) \cup (A^{c} \cap B \cap C^{c}) \cup (A^{c} \cap B^{c} \cap C) \\ = (A \cap ((B \cap C) \cup (B^{c} \cap C^{c}))) \cup (A^{c} \cap B \cap C^{c}) \cup (A^{c} \cap B^{c} \cap C) \\ = (A \cap ((B^{c} \cup C) \cap (B \cup C^{c}))) \cup (A^{c} \cap B \cap C^{c}) \cup (A^{c} \cap B^{c} \cap C) \\ = (A \cap {((B \cap C^{c}) \cup (B^{c} \cap C))}^{c}) \cup (A^{c} \cap ((B \cap C^{c}) \cup (B^{c} \cap C))) \\ = (A \cap {(B Δ C)}^{c}) \cup (A^{c} \cap (B Δ C)) \\ = A Δ (B Δ C) \end{array}$
$\begin{array}{l} A \cap (B Δ C) \\ = A \cap ((B \cap C^{c}) \cup (B^{c} \cap C)) \\ = (A \cap B \cap C^{c}) \cup (A \cap B^{c} \cap C) \\ = (A \cap B^{c} \cap C) \cup (A \cap B \cap C^{c}) \\ = ((A^{c} \cup B^{c}) \cap A \cap C) \cup (A \cap B \cap (A^{c} \cup C^{c})) \\ = ({(A \cap B)}^{c} \cap (A \cap C)) \cup ((A \cap B) \cap {(A \cap C)}^{c}) \\ = (A \cap B) Δ (A \cap C) \end{array}$

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2015年2月11日水曜日

数学 – 集合と写像 - 集合間の演算(対称差(symmetric difference))

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