数学 – 集合と写像 - 集合間の演算(差)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、2(集合間の演算)、問題3.を解いてみる。

問題3.

1. 
   $\begin{array}{l}x\in A-B\\ \iff x\in A\wedge x\notin B\\ \Rightarrow x\in \left(A\cup B\right)\wedge x\notin B\\ \iff \left(x\in A\vee x\in B\right)\wedge x\in B^c\\ \iff \left(x\in A\wedge x\in B^c\right)\vee \left(x\in B\wedge x\in B^c\right)\\ \iff x\in A\wedge x\in B^c\\ \iff x\in A\wedge x\notin B\\ \iff x\in A-B\\ A-B\subset \left(A\cup B\right)-B=A\cap B^c=A-B\\ \\ x\in A-B\\ \Rightarrow x\in A-\left(A\cap B\right)\\ \iff x\in A\wedge x\notin A\cap B\\ \iff x\in A\cap B^c\\ A-B\subset A-\left(A\cap B\right)=A\cap B^c\\ \\ A-B=\left(A\cup B\right)-B=A-\left(A\cap B\right)=A\cap B^c\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}x\in A\Rightarrow x\notin B\\ x\in B\Rightarrow x\notin A\\ A\cap B=\varphi \\ \\ x\in B\Rightarrow x\notin A\\ A-B=A\\ \\ A-B=A\iff A\cap B=\varphi \end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}x\in A\Rightarrow x\in B\\ A-B=\varphi \\ \\ x\in A\Rightarrow x\in B\\ A\subset B\\ \\ A-B=\varphi \iff A\subset B\end{array}$