数学 – 整数 - 素数、素因数分解(無理数を見つける方法)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問5.を解いてみる。

問5.

方程式を満たす有理数が存在すると仮定し、

$x=\frac{k}{l},\left(k,l\right)=1$

とおく。そのとき、

$\begin{array}{l}{\left(\frac{k}{l}\right)}^n=a\\ \frac{k^n}{l^n}=a\\ k^n=a{l}^n\end{array}$

となり、$k$ と$l$は互いに素なので、$a$は$k$の倍数である。

このことから、

$l=1,k^n=a$

となるが、これは、

$x^n=a$

を満たす整数$x$が存在しないという仮定と矛盾する。よって、方程式を満たす有理数も存在しない。

証明終。