数学 – 整数 - 素数、素因数分解(合成数, 約数)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問1.を解いてみる。

問1.

1. 
   

   合成数$a$ の標準分解を、
   
   $a=p_1{}^{{\alpha }_1}···p_n{}^{{\alpha }_n}\left(n\ge 2,{\alpha }_n\ge 1,p_k<p_{k+1}\right)$
   
   とする。

   この合成数が、$\sqrt{a}$ をこえない約数を持たないと仮定すると、
   
   $\begin{array}{l}{p}_1>\sqrt{a}\\ a=p_1{}^{{\alpha }_1}···p_n{}^{{\alpha }_n}\\ >\sqrt{a}{p}_2\\ >\sqrt{a}\sqrt{a}\\ =a\\ a>a\end{array}$
   
   となり矛盾。

   よって、合成数$a$ は$\sqrt{a}$をこえない約数$\ne 1$ をもつ。

   証明終。

2. 
   除去されずに残った任意の整数の標準分解を、
   
   $p_1{}^{{\alpha }_1}···p_r{}^{{\alpha }_r}\left(r\ge 1\right)$
   
   とする。

   このとき、
   
   $\begin{array}{l}\sqrt{N}<p_1{}^{{\alpha }_1}···p_r{}^{{\alpha }_r}\le N\\ p_1>\sqrt{N}\\ p_1{}^2>N\end{array}$
   
   となるので、
   
   $r=1,\alpha =1,a=p_1$
   
   である。よって、除去されずに残っている数は、すべて素数である。

   証明終。