数学 – 整数 - 素数、素因数分解(複数の整数の最大公約数と最小公倍数)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

学習環境

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問2.を解いてみる。

問2.

2つの整数の公倍数は、

$p_1{}^{t_1}···p_k{}^{t_k}\left({\gamma }_i\le t_i\right)$

となる。この最小値は、

$p_1{}^{{\gamma }_1}···p_k{}^{{\gamma }_k}$

となる。

2つの整数の公約数は、

$p_1^{t_1}···p_k{}^{t_k}\left({\text{t}}_i\le {\delta }_i\right)$

となり、この最大値は、

$p_1{}^{{\delta }_1}···p_k{}^{{\delta }_k}$

となる。

$\begin{array}{l}\max \left\{{\alpha }_i,{\beta }_i,{\theta }_i\right\}=\max \left\{{\gamma }_i,{\theta }_i\right\}=\gamma {\text{'}}_i\\ \max \left\{{\alpha }_i,{\beta }_i,{\theta }_i\right\}=\min \left\{{\gamma }_i,{\theta }_i\right\}=\delta {\text{'}}_i\end{array}$

とすると、最小公倍数、最大公約数はそれぞれ、

$\begin{array}{l}c=p_1{}^{{\theta }_i}···p_k{}^{{\theta }_k}\\ \max \left\{{\gamma }_i,{\theta }_i\right\}=\gamma {\text{'}}_i\\ \min \left\{{\gamma }_i,{\theta }_i\right\}=\delta {\text{'}}_i\end{array}$

となる。よって帰納法より、2つより多くの整数に対して、成り立つ。

証明終。