数学 – 文字と記号の活躍 - 式の計算 – 整式 - 展開公式(平方, 剰余)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第2章(文字と記号の活躍 - 式の計算)、2.1(整式)、展開公式の問6.を解いてみる。

問6.

3で割ると1余る場合。

$\begin{array}{l} n = 3 k + 1 \\ {(3 k + 1)}^{2} \\ = 9 k^{2} + 6 k + 1 \\ = 3 (3 k^{2} + 2) + 1 \end{array}$

3で割ると2余る場合。

$\begin{array}{l} n = 3 k + 2 \\ {(3 k + 2)}^{2} \\ = 9 k^{2} + 12 k + 4 \\ = 3 (3 k^{2} + 4 k + 1) + 1 \end{array}$

よって、3の倍数でない整数の平方を3で割ると1余る。

証明終。

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