数学 – 整数 - 数学的帰納法と除法の定理(二項定理)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、2(数学的帰納法と除法の定理)、問5.を解いてみる。

問5.

$n=k$ のとき成り立つと仮定する。

$\begin{array}{l}{\left(x+y\right)}^{k+1}\\ =(x+y){\displaystyle \sum _{r=0}^k\left(\begin{array}{c}k\\ r\end{array}\right)}{x}^{k-r}{y}^r\\ ={\displaystyle \sum _{r=0}^k\left(\begin{array}{c}k\\ r\end{array}\right)}{x}^{k+1-r}{y}^r+{\displaystyle \sum _{r=0}^k\left(\begin{array}{c}k\\ r\end{array}\right)}{x}^{k-r}{y}^{r+1}\\ ={\displaystyle \sum _{r=0}^k\left(\begin{array}{c}k\\ r\end{array}\right)}{x}^{k+1-r}{y}^r+{\displaystyle \sum _{r=1}^{k+1}\left(\begin{array}{c}k\\ r-1\end{array}\right)}{x}^{k+1-r}{y}^r\\ =x^{k+1}+y^{k+1}+{\displaystyle \sum _{r=1}^k\left(\left(\begin{array}{c}k\\ r\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}k\\ r-1\end{array}\right)\right)}{x}^{k+1-r}{y}^r\\ =x^{k+1}+y^{k+1}+{\displaystyle \sum _{r=1}^k\left(\frac{k!}{r!\left(k-r\right)!}+\frac{k!}{\left(r-1\right)!\left(k-r+1\right)!}\right)}{x}^{k+1-r}{y}^r\\ =x^{k+1}+y^{k+1}+{\displaystyle \sum _{r=1}^k\frac{k!\left(k-r+1+r\right)}{r!\left(k-r\right)!}}{x}^{k+1-r}{y}^r\\ =x^{k+1}+y^{k+1}+{\displaystyle \sum _{r=1}^k\frac{\left(k+1\right)!}{r!\left(\left(k+1\right)-r\right)!}}{x}^{k+1-r}{y}^r\\ =\left(\begin{array}{c}k+1\\ 0\end{array}\right)x^{k+1-0}{y}^0+\left(\begin{array}{c}k+1\\ k+1\end{array}\right)x^{k+1-\left(k+1\right)}{y}^{k+1}+{\displaystyle \sum _{r=1}^k\left(\begin{array}{c}k+1\\ r\end{array}\right)}{x}^{k+1-r}{y}^r\\ ={\displaystyle \sum _{r=0}^{k+1}\left(\begin{array}{c}k+1\\ r\end{array}\right)}{x}^{k+1-r}{y}^r\end{array}$
より、$n=k+1$ のときも成り立つ。

よって、帰納法によりすべての自然数について成り立つ。

証明終