数学 – 整数 - 最小公倍数(3個以上の整数の最大公約数を求める方法)

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代数系入門 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、4(最小公倍数)、問1.を解いてみる。

問1.

$\begin{array}{l} [a_{1}, a_{2}] = \frac{a_{1} a_{2}}{d_{1}} (d_{1} = (a_{1}, a_{2})) \\ [l_{2}, a_{3}] = \frac{\frac{a_{1} a_{2}}{d_{1}} \cdot a_{3}}{d_{2}} = \frac{a_{1} a_{2} a_{3}}{d_{1} d_{2}} (d_{2} = (l_{2}, a_{3})) \\ \cdot \cdot \cdot \\ [l_{n - 1}, a_{n}] = \frac{a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}}{d_{1} d_{2} \cdot \cdot \cdot d_{n - 1}} \end{array}$

$d$ を $a_{1} 、 a_{2} 、 \cdot \cdot \cdot 、 a_{n}$ の任意の公倍数とすると、

$l_{n} = \frac{a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}}{d_{1} d_{2} \cdot \cdot \cdot d_{n - 1}} = \frac{a_{1}}{d_{1}} \cdot \frac{a_{2}}{d_{2}} \cdot \cdot \cdot \frac{a_{n - 1}}{d_{n - 1}} \cdot a_{n} | d$

となるので、 $l_{n}$ は $a_{1} 、 a_{2} 、 \cdot \cdot \cdot 、 a_{n}$ の最小公倍数である。

証明終。

Kamimura's blog

2015年2月12日木曜日

数学 – 整数 - 最小公倍数(3個以上の整数の最大公約数を求める方法)

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