数学 – 整数 - 素数、素因数分解(2の累乗の累乗, 奇数, 約数)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

学習環境

• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問9.を解いてみる。

問9.

$e$が素数の素因数$p\left(\ne 1\right)$をもつと仮定すると、

$\begin{array}{l}e=kp\\ \frac{2^e+1}{2^{\frac{e}{p}}+1}\\ =\frac{2^{kp}+1}{2^k+1}\\ =\frac{\left(2^k+1\right)·2^{\left(p-1\right)k}-2^{\left(p-1\right)k}+1}{2^k+1}\\ =n_1+\frac{-2^{\left(p-1\right)k}+1}{2^k+1}\\ =n_1+\frac{-\left(2^k+1\right)\left(-2^{\left(p-2\right)k}\right)+2^{\left(p-2\right)k}+1}{2^k+1}\\ =n_2+\frac{2^{\left(p-2\right)k}+1}{2^k+1}\\ ···\\ =n_{p-1}+\frac{2^{\left(p-\left(p-1\right)\right)k}+1}{2^k+1}\\ =n_p+\frac{2^k+1}{2^k+1}\\ =n_p+1\end{array}$

となり、

$2^e+1$

は、

$2^{\frac{e}{p}}+1$

で割り切れる。

これは、

$2^e+1\left(e\ge 1\right)$

が素数であることと矛盾する。

よって、$e$ は素数の素因数をもたないので、

$e=2^v$

となる。