数学 – 集合と写像 - 集合の概念(有理数, 実数全体の集合, 整数)

学習環境

集合・位相入門(松坂和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、1(集合の概念)、問題4.を解いてみる。

問題4.

$x = a + b \sqrt{2}, y = c + d \sqrt{2}$
とおく。
$\begin{array}{l} x + y = (a + c) + (b + d) \sqrt{2} \in A \\ x - y = (a - c) + (b - d) \sqrt{2} \in A \\ x y = (a c + 2 b d) + (a d + b c) \sqrt{2} \in A \end{array}$
$x \neq 0$ とする。
$\begin{array}{l} \frac{1}{a + b \sqrt{2}} = \frac{a - b \sqrt{2}}{(a + b \sqrt{2}) (a - b \sqrt{2})} \\ = \frac{a - b \sqrt{2}}{a^{2} - 2 b^{2}} \\ = \frac{a}{a^{2} - 2 b^{2}} + \frac{b}{2 b^{2} - a^{2}} \sqrt{2} \in A \end{array}$

有理数全体の集合ではなく、整数全体の集合の場合は、1は成り立つが、2は成り立たない。

例えば、 $a = b = 2 \in ℤ$ の場合、
$- \frac{1}{4} \notin ℤ, \frac{1}{4} \notin ℤ$

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