数学 – 数学はここから始まる - 数 – 実数の演算と大小 – 数の集合はどの演算について閉じているか？(背理法)

数学読本〈1〉
数・式の計算/方程式/不等式
(岩波書店)
松坂 和夫(著)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数学はここから始まる-数)、1.2(実数の演算と大小)、数の集合はどの演算について閉じているか？、の問5.を解いてみる。

問5.

問題の等式を変形すると、

$(a-c)+(b-d)\sqrt{2}=0$

となる。また、有理数は減法について閉じているので、

$a-c,b-d$

は有理数である。よって、例題より、

$a=c\wedge b=d$

となる。