数学 – 数学はここから始まる - 数 – 実数の演算と大小 – 数の集合はどの演算について閉じているか？

数学読本〈1〉
数・式の計算/方程式/不等式
(岩波書店)
松坂 和夫(著)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数学はここから始まる-数)、1.2(実数の演算と大小)、数の集合はどの演算について閉じているか？、の問3.を解いてみる。

問3.

$n、m$を任意の整数とする。

(1)

$\begin{array}{l}2n+2m=4(n+m)\\ 2n-2m=2(n-m)\\ 2n\times 2m=4nm\\ 2÷4=\frac{1}{2}\end{array}$

よって、加法、減法、乗法の演算について閉じている。除法については閉じていない。

(2)

$\begin{array}{l}(2n+1)+(2m+1)=2(n+m+2)\\ (2n+1)-(2m+1)=2(n-m)\\ (2n+1)\times (2m+1)=2(2nm+n+m)+1\\ 1÷3=\frac{1}{3}\end{array}$

よって、乗法の演算について閉じている。加法、減法、除法については閉じていない。

(3)

$a,b,c,d$ を正の整数とする。

$\begin{array}{l}\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0\\ \frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\\ \frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}\end{array}$

よって、加法、乗法、除法の演算について閉じている。減法については閉じていない。