数学 - 点の座標(平面上の2点間の距離、内分点・外聞点)

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数の第6章(図形と数や式の関係 - 平面図形と式)6.1(点の座標)、平面上の2点間の距離、内分点・外分点の問4を解いてみる。

問4.

直線 $B C$ を $x$ 軸にとり、点 $D$ を座標 $(0, 0)$ 、 $A (a, b) 、 B (- c, 0) 、 C (2 c, 0)$ とおく。

そのとき、

$3 (A D^{2} + 2 B D^{2}) = 3 (a^{2} + b^{2} + 2 c^{2})$

$2 A B^{2} + A C^{2} = 2 ({(a + c)}^{2} + b^{2}) + {(a - 2 c)}^{2} + b^{2}$

$= 3 a^{2} + 6 c^{2} + 3 b^{2}$

$= 3 (a^{2} + b^{2} + 2 c^{2})$

よって、

$2 A B^{2} + A C^{2} = 3 (A D^{2} + 2 B D^{2})$

(証明終)

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