数学 - 不等式の証明(分数式の不等式2)

数学読本〈1〉
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 の第4章(大小関係をみる - 不等式)4.3(不等式の証明)問30を解いてみる。

問30.

$\left(A^2+B^2\right){\left(a+b\right)}^2-\left(x^2+y^2\right){\left(a+b\right)}^2$

$=a^2{x}^2+b^2{y}^2+2abxy+b^2{x}^2+a^2{y}^2+2abxy-a^2{x}^2-a^2{y}^2-b^2{x}^2-b^2{y}^2-2ab{x}^2-2ab{y}^{}$

$=4abxy-2ab{x}^2-2ab{y}^2$

$=-2ab{\left(x+y\right)}^2\le 0$

$\mathrm{よって、}$