数学 - 関数とそのグラフ(条件から2次関数を求める方法)

数学読本〈2〉
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数 の第5章(関連しながら変化する世界 - 簡単な関数)5.1(関数とそのグラフ)問9を解いてみる。

問9.

(1)

求める2次関数を、

$y=a{x}^2+bx+c$

とおくと、

$2=c\text{,}4a+2b+2=0\text{ ,}4a-2b+2=-12$

$8a=-16\text{,}a=-2\text{,}b=3$

よって求める関数は

$y=-2x^2+3x+2$

(2)

頂点の条件から求める関数を、

$y=a{\left(x-3\right)}^2-4$

とおく。この関数が点$\left(5,0\right)$ を通るので、

$0=4a-4\text{ ,}a=1$

よって求める2次関数は、

$y=x^2-6x+5$

(3)

頂点がx軸上にあるのでそれを$\left(n,0\right)$ とおく。このことから求める2次関数を

$y=a{\left(x-n\right)}^2$

とおく。2点$\left(1,1\right)、\left(4,4\right)$ を通るので、

$1=a{\left(1-n\right)}^2\text{,}4=a{\left(4-n\right)}^2$

$4a{\left(1-n\right)}^2=a{\left(4-n\right)}^2$

$3n^2-12=0$

$n=\pm 2$

よって問題の条件を満たす2次関数は、

$y=x^2-4x+4\text{,}y=\frac{1}{9}{x}^2+\frac{4}{9}x+\frac{4}{9}$