数学 - 不等式の証明(平方による比較、平方根)

数学読本〈1〉
松坂 和夫 (著)

学習環境

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 の第4章(大小関係をみる - 不等式)4.3(不等式の証明)問25を解いてみる。

問25.

$pa+qb-p^{2}a-q^{2}b-2pq\sqrt{ab}=pq{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2-apq-bpq+pa+qb-p^{2}a-q^{2}b=pq{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2-ap\left(p+9\right)-bq\left(p+q\right)+pa+qb=pq{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$

$pa+qb\ge {\left(p\sqrt{a}+q\sqrt{b}\right)}^2$

$\sqrt{pa+qb}\ge p\sqrt{a}+q\sqrt{b}$