数学 - 不等式の証明(平方による比較)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式の第4章(大小関係をみる - 不等式)4.3(不等式の証明)問21を解いてみる。

問21.

(1)

$2 (a + b) - (a + b + 2 \sqrt{a b}) = a + b - 2 \sqrt{a b} \geq 0$

よって、

$2 (a + b) \geq {(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2}$

$\sqrt{2 (a + b)} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b}$

(2)

$3 (a + b) - (2 a + b + 2 \sqrt{2 a b}) = a + 2 b - 2 \sqrt{2 a b} \geq 0$

よって

$3 (a + b) \geq {(\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}^{2}$

$\sqrt{3 (a + b)} \geq \sqrt{2 a} + \sqrt{b}$

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