数学 - 不等式の証明(平方和の性質(因数分解))

数学読本〈1〉
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 の第4章(大小関係をみる - 不等式)4.3(不等式の証明)問16を解いてみる。

問16.

(1)

$a^2{y}^2+b^2{x}^2+2abxy={\left(ay+bx\right)}^2\ge 0$

(2)

$a^3\left(a-b\right)+b^3\left(b-a\right)=\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)={\left(a-b\right)}^2\left(a^2+ab+b^2\right)={\left(a-b\right)}^2\left({\left(a+\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{b}^2\right)\ge 0$

(3)

${\left(a-1\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2+{\left(c-1\right)}^2\ge 0$