数学 - 不等式の基本性質(統合付き不等号(公理3))

数学読本〈1〉
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 の第4章(大小関係をみる - 不等式)4.1(不等式の基本性質)問2を解いてみる。

問2.

$a>b\text{,}c>d$

のとき、問2の (1)より

$a+c>b+d$

よって

$a+c\ge b+d$

$a=b\text{,}c>d$

のとき、3より

$a+c>b+d$

$a+c\ge b+d$

$a>b\text{,}c=d$

のとき、上記と同様に3から

$a+c\ge b+d$

$a=b\text{,}c=d$

のとき

$a+c=b+d$

よって

$a+c\ge b+d$

以上より

$a\ge b\wedge c\ge d\Rightarrow a+c\ge b+d$

$a>b$

とすると、

$a+c>b+d$

これは仮定にと矛盾。よって

$a=b$

同様に、

$c=d$

以上より、

$\left(a\ge b\right)\wedge \left(c\ge d\right)\wedge \left(a+c=b+d\right)\Rightarrow a=b\wedge c=d$