数学 - 整式の除法と分数式(和と差)

数学読本〈1〉
松坂和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式の第2章(文字と記号の活躍 - 式の計算)2.3(整式の除法と分数式)問19を解いてみる。

問19.

(1)

$\frac{(a - b) c + (b - c) a + (c - a) b}{a b c}$

= $0$

(2)

$\frac{1}{x + 1}$

(3)

$1$

(4)

$\frac{- 1}{x - 1}$

(5)

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4}{x (x + 1)}$

= $\frac{(x^{2} + 2) (x - 2)}{x (x + 1)}$

(6)

$\frac{x^{2} + x}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

= $\frac{x}{x^{2} - x + 1}$

(7)

$\frac{1}{(x - 1) (x - 2)} + \frac{2}{(2 x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{(2 x + 1) (x - 2)}$

= $\frac{x}{(x - 1) (x - 2) (2 x + 1)}$

(8)

$\frac{1}{x (x + 1)} - \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 3}$

= $\frac{1}{x (x + 1)} - \frac{1}{(x + 2) (x + 3)}$

= $\frac{4 x + 6}{x (x + 1) (x + 2) (x + 3)}$

= $\frac{2 (2 x + 3)}{x (x + 1) (x + 2) (x + 3)}$

(9)

$\frac{2 a}{a^{2} - 1} + \frac{2 a}{a^{2} + 1} + \frac{4 a^{3}}{a^{4} + 1}$

= $\frac{4 a^{3}}{a^{4} - 1} + \frac{4 a^{3}}{a^{4} + 1}$

= $\frac{8 a^{7}}{a^{8} - 1}$

(10)

$\frac{3 x^{2} + 9 x}{x (x + 1) (x + 2) (x + 3)}$

= $\frac{3}{(x + 1) (x + 2)}$

(11)

$\frac{- a (b - c) - b (c - a) - c (a - b)}{(a - b) (b - c) (c - a)}$

= $0$

(12)

$\frac{- (b - c) (b + 1) (c + 1) - (c - a) (a + 1) (c + 1) - (a - b) (a + 1) (b + 1)}{(a - b) (b - c) (c - a) (a + 1) (b + 1) (c + 1)}$

分子について

$-(b - c) (b c + b + c) - (c - a) (a c + a + c) - (a - b) (a b + a + b)$

= $(c + 1 - b - 1) a^{2} + (c - c^{2} - c - b + b^{2} + b) a - (b - c) (b c + b + c) - c^{2} + b^{2}$

= $(c - b) (a^{2} - (b + c) a + b c + b + c - b - c)$

= $(a - b) (b - c) (c - a)$

よって

$\frac{1}{(a + 1) (b + 1) (c + 1)}$

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2012年8月13日月曜日

数学 - 整式の除法と分数式(和と差)

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