数学 - 整数(最大公約数のある性質)

数学読本〈1〉
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 の第1章(数学はここから始まる - 数)1.3(整数)問12を解いてみる。

問12.

(1)

$315=255\cdot 1+60$

$255=60\cdot 4+15$

$60=15\cdot 4$

よって 255と 315の最大公約数は 15

$15=255-60\cdot 4$

    = $255-\left(315-255\right)\cdot 4$

    =$255\cdot 5-315\cdot 4$

よってr= 5、s= -4

(2)

$639=288\cdot 2+63$

$288=63\cdot 4+36$

$63=36+27$

$36=27+9$

$27=9\cdot 3$

よって 639と 288の最大公約数は9

$9=36-27$

  = $36-\left(63-36\right)$

  = $63\cdot \left(-1\right)+36\cdot 2$

  = $63\cdot \left(-1\right)+\left(288-63\cdot 4\right)\cdot 2$

  = $288\cdot 2+63\cdot \left(-9\right)$

  = $288\cdot 2+\left(639-288\cdot 2\right)\cdot \left(-9\right)$

  = $639\cdot \left(-9\right)+288\cdot 20$

よってr= 20、 s=-9