数学学習の記録 475 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第2章(数列と級数)の2.2(数列の収束条件), 問題2.2, 3 | Kamimura's blog

2011年3月13日日曜日

数学学習の記録 475 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第2章(数列と級数)の2.2(数列の収束条件), 問題2.2, 3

"解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第2章(数列と級数)の2.2(数列の収束条件), 問題2.2, 3を解いてみる。

問題2.2

3.

(a)

$a_{2}-a_{1}$

$=\frac{1}{2}(\frac{\alpha}{a_{1}}-a_{1})$

$=\frac{1}{2}\cdot\frac{\alpha-a_{1}^{2}}{a_{1}}<0$

n=kのとき、

$a_{k+1}-a_{k}<0$

と仮定すると、

$a_{k+2}-a_{k+1}$

$=\frac{1}{2}(a_{k+1}-a_{k}+\frac{\alpha}{a_{k+1}}-\frac{\alpha}{a_{k}})$

$<\frac{1}{2}(a_{k}-a_{k}+\frac{\alpha}{a_{k}}-\frac{\alpha}{a_{k}})=0$

よって問題の数列は単調減少。また、すべての自然数nに対して

$a_{n}\geq 0$

よって下に有界。ゆえに単調減少で下に有界なので収束する。極限値をβとおくと、

$\beta=\frac{1}{2}(\beta+\frac{\alpha}{\beta})$

$\beta^{2}-2\beta+\alpha=0$

$(\beta-\sqrt{\alpha})^{2}=0$

よって求める極限値は

$\beta=\sqrt{\alpha}$

(b)

$\epsilon_{n+1}=a_{n+1}-\sqrt{\alpha}$

$=\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{\alpha}{a_{n}})-\sqrt{\alpha}$

$=\frac{1}{2}(a_{n}-\sqrt{\alpha}+\frac{\alpha-a_{n}\sqrt{\alpha}}{a_{n}})$

$=\frac{1}{2}\cdot\frac{a_{n}^{2}-2a_{n}\sqrt{\alpha}+\alpha}{a_{n}}$

$=\frac{(a_{n}-\sqrt{\alpha})^{2}}{2a_{n}}$

$=\frac{\epsilon_{n}^{2}}{2a_{n}}$

$\epsilon_{n+1}<\frac{\epsilon_{n}^{2}}{2\sqrt{\alpha}}=\frac{\epsilon_{n}^{2}}{\beta}$

この両辺に1/βをかけると、

$\frac{\epsilon_{n+1}}{\beta}<\frac{\epsilon_{n}^{2}}{\beta}$

(証明終)

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