問題2.2
4.
仮定より、任意の実数ε(>0)に対してある自然数N_0, N_1が存在して任意の自然数nに対して
n>N_0 ならば |a_n - α|<ε
n>N_1 ならば |c_n - α|<ε
が成り立つ。ここで、
N=max{N_0,N1}
とおけば、
n>N ならば |a_n - α|<ε , |c_n - α|<ε
が成り立つ。また、
より、
よって、n>Nのとき、
ここから場合分け。
の場合、
すなわち、
となる。
の場合、
すなわち、
となる。よって問題の仮定のもとでは任意の実数ε(>0)に対してある自然数Nが存在して任意の自然数nに対して
n>N ならば |b_n - α|< ε
が成り立つ。ゆえに、
である。
(証明終)
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