数学学習の記録 470 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第2章(数列と級数)の2.1(数列), 問題2.1, 2, 3

2.

$\lim_{n\rightarrow\infty}{a_{n}^{k}}=0$

ならば、任意の実数ε(>0)に対してある自然数Nが存在して、任意の自然数nに対して

n>N

ならば、

$0\leq a_{n}^{k}<e^{k}$

が成り立つ。すなわち、

$0\leq a_{n}<e$

が成り立つ。よって

$\lim_{n\rightarrow\infty}{a_{n}}=0$

が成り立つ。

(証明終)

n=2のとき

左辺-右辺

$=(1+2h+h^{2})-(1+2h+h^{2})$

よって成り立つ。

n=kのとき成り立つと仮定する。

$(1+h)^{k}\geq 1+kh+\frac{k(k-1)}{2}h^{2}$

両辺に1+hを掛ける。

$(1+h)^{k+1}$

$\geq(1+kh+\frac{k(k-1)}{2}h^{2})(1+h)$

$=1+(k+1)h+(\frac{k(k-1)}{2}+k)h^{2}+\frac{k(k-1)}{2}h^{3}$

$\geq 1+(k+1)h+\frac{k^{2}+k}{2}h^{2}$

$=1+(k+1)h+\frac{(k+1)((k+1)-1)}{2}h^{2}$

すなわち、

$(1+h)^{k+1}\geq1+(k+1)h+\frac{(k+1)((k+1)-1)}{2}h^{2}$

が成り立つ。よってn=k+1のときも成り立つ。

ゆえに、帰納法より問題の命題は成り立つ。

(証明終)

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