数学学習の記録 463 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.3(順序体)

"解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.3(順序体)の問題1.3, 1, 2を解いてみる。

問題1.3

命題2

(a)

ab-ac=0

分配律より

a(b-c)=0

aは0ではないので

b-c=0

b=c

(b)

1,1'を乗法単位元、aを体の任意の元とする。

1a=a=1'a

1a=1'a

1=1'

よって乗法単位元1はただ1つである。

(c)

b,cを0でない元aの乗法逆元とすると、

ab=1=ac

ab=ac

b=c

よって乗法逆元はaに対して一意的に定まる。

(d)

$a^{-1}a=1$

よって

$(a^{-1})^{-1}=a$

(e)

$b(ab^{-1})=b(b^{-1}a)=(bb^{-1})a=a$

よって

$ab^{-1}$

は方程式bx=aの回である。

$x_{1},x_{2}$

を方程式bx=aの解とすると、

$bx_{1}=bx_{2}$

(a)より

$x_{1}=x_{2}$

よって方程式bx=aの解は一意的に定まる。

ゆえに、bが0でなければ、方程式bx=aは一意的な解

$x=ab^{-1}$

をもつ。

(証明終)

AはRの下に有界な空でない部分集合なので、定理2より下限(inf A)が存在する。

同様に-Aは上に有界な空でないRの部分集合となるので上限(sup(-A))が存在する。

Aの任意の元xに対して

$inf A\leq x$

となるので、-Aの任意の元

$-x\leq -inf A$

となる。また、-inf Aが-Aの上限でないと仮定すると、

-x<-x'<-inf A

となる-x'が存在することになるが、そうすると

inf A<x'<x

となり、inf A=x'となるので矛盾。よって-inf Aは-Aの上限となる。

sup(-A)=-inf A

ゆえに、

inf A=-sup(-A)

である。

(証明終)

Kamimura's blog

2011年3月1日火曜日