問題1.3
1.
命題2
(a)
ab-ac=0
分配律より
a(b-c)=0
aは0ではないので
b-c=0
b=c
(b)
1,1'を乗法単位元、aを体の任意の元とする。
1a=a=1'a
1a=1'a
1=1'
よって乗法単位元1はただ1つである。
(c)
b,cを0でない元aの乗法逆元とすると、
ab=1=ac
ab=ac
b=c
よって乗法逆元はaに対して一意的に定まる。
(d)
よって
(e)
よって
は方程式bx=aの回である。
を方程式bx=aの解とすると、
(a)より
よって方程式bx=aの解は一意的に定まる。
ゆえに、bが0でなければ、方程式bx=aは一意的な解
をもつ。
(証明終)
2.
AはRの下に有界な空でない部分集合なので、定理2より下限(inf A)が存在する。
同様に-Aは上に有界な空でないRの部分集合となるので上限(sup(-A))が存在する。
Aの任意の元xに対して
となるので、-Aの任意の元
となる。また、-inf Aが-Aの上限でないと仮定すると、
-x<-x'<-inf A
となる-x'が存在することになるが、そうすると
inf A<x'<x
となり、inf A=x'となるので矛盾。よって-inf Aは-Aの上限となる。
sup(-A)=-inf A
ゆえに、
inf A=-sup(-A)
である。
(証明終)
0 コメント:
コメントを投稿