数学学習の記録 461 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.2(自然数, 整数)の問題1.2, 6

"解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.2(自然数, 整数)の問題1.2, 6を解いてみる。

問題1.2

$a=\frac{m}{p_{1}^{\alpha_{1}}p_{2}^{\alpha_{2}}\ \cdot\ \cdot\ p_{s}^{\alpha_{s}}}$

とおく。

mの標準分解を

$m=q_{1}^{\beta_{1}}q_{2}^{\beta_{2}}\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ q_{r}^{\beta_{r}}$

とおく。

$a=\frac{q_{1}^{\beta_{1}}q_{2}^{\beta_{2}}\ \cdot\ \cdot\ \cdot q_{r}^{\beta_{r}}}{p_{1}^{\alpha_{1}}p_{2}^{\alpha^{2}}\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ p_{s}^{\alpha_{s}}}$

aは既約分数なので、素数

$q_{i}(i=1,2,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ r)$

はそれぞれ素数

$p_{i}(i=1,2,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ s)$

すべてと互いに素である。

$\sum_{i=1}^{s} {k_{i}p_{1}^{\alpha_{1}}p_{2}^\alpha_{2}\ \cdot\ \cdot\ \cdot p_{i-1}^{\alpha_{i-1}}p_{i+1}^{\alpha_{i+1}}\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ p_{s}^{\alpha_{s}}}$

$=q_{1}^{\beta_{1}}q_{2}^{\beta_{2}}\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ q_{r}^{\beta_{r}}$

を満たす有理数

$k_{i}(i=1,2,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,s)$

をとることができる。これはaの分子mなので、 $k_{i}$ は $p_{i}$ (i=1,2,・・・,s)で割り切れなければならない。よって $k_{i}$ は整数。(説明が分かりにくいかな〜分子の級数のうちi以外の項は $p_{i}$ を含むので $p_{i}$ で割り切れるけどi項は $p_{i}$ を含まないので $k_{i}$ が $p_{i}$ で割り切れないとmが整数ではなくなってしまう。これはaが既約分数であるという仮定と矛盾する。よって $k_{i}$ は $p_{i}$ の倍数、すなわち整数)

ここで、

$\frac{k_{i}}{p_{1}^{\alpha_{1}}}+\frac{k_{2}}{p_{2}^{\alpha_{2}}}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \frac{k_{s}}{p_{s}^{\alpha_{s}}}=a$

となるので、

$k_{i}=h_{i}\ (i=1,2,\ \cdot\ \cdot\ \cdot s)$

とおけば有理数aは問題の等式のように表される。

(証明終)

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2011年2月27日日曜日