問題1.2
4.
mはa,b,・・・,lの公倍数である。Mをa,b,・・・,lの最小公倍数とすると、
m=kM
となる整数kが存在する。ここで、
となるのでkは1またはs個の素数のいずれかになる。
k=
と仮定すると、
となる。すると、a,b,・・・,lのうち、素因数分解で
があらわれる正の整数をMで割る事が出来なくなる、すなわちMが最小公倍数であるという仮定と矛盾する。他の素数の場合も同様。よってk=1、すなわちmはa,b,・・・,lの最小公倍数である。
dはa,b,・・・,lの公約数である。これより大きい約数が存在すると仮定すると、
等
のいずれかに1以上を加えた約数が存在する事になるが、それではa,b,・・・,lのうち上記の場合だと
があらわれる整数を割ることができなくなる。よって仮定と矛盾する。
ゆえにdはa,b,・・・,lの最大公約数である。
(証明終)
5.
zを等式に代入して両辺にnのk乗をかけると、
この左辺はmで割り切れるので、右辺もmで割り切れる。そして(m,n)=1(mとnは互いに素)なので定理5より
はmで割り切れる。よってmは
の約数となる。
また、
となり、右辺はnで割り切れるので左辺もnで割り切れる。そして(m,n)=1(mとnは互いに素)なので定理5より
はnで割り切れる。すなわちnは
の矢空数である。
(証明終)
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