問題1.1
4.
とおくと、
ここで、ここでaが有理数だと仮定すると、
が有理数となり無理数であるという仮定と矛盾する。
ゆえに、
は無理数である。
(証明終)
5.
x, yを
x<y
を満たす任意の実数とする。
aを無理数とする。
そのとき、有理数は数直線上に稠密に存在するので
x-a<q<y-a
を満たす有理数qが存在する。
ゆえに、
x<q+a<y
ここで、問題1.1, 1より有理数+無理数は無理数なので、q+aは無理数となる。
これを
z=q+a
とおけば、zは無理数で
x<z<y
すなわち数直線上に無理数も稠密に存在する。
(証明終)
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