数学学習の記録 457 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.1(実数)の問題1.1, 2, 3

"解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.1(実数)の問題1.1, 2, 3を解いてみる。

問題1.1

z=xy

が有理数だと仮定する。xは0でない有理数なので、この両辺をxで割ると、

z/x = y

となる。有理数/(割る)有理数は有理数なので、yは有理数となる。

問題のyは無理数であるという仮定と矛盾する。

ゆえに、xyは無理数である。

aが3の倍数でないと仮定する。

a=3n+1 (nは整数)

のとき、

$a^{2}=9m^{2}+6m+1=3n_{0}+1$

(n_{0}は整数)

よってaの二乗が3の倍数であるという仮定と矛盾する。

a=3n+2 (nは整数)

のとき、

$a^{2}=9n^{2}+12n+(3+1)=3n_{0}+1$

(n_{0}は整数)

よってaの二乗が3の倍数であるという仮定と矛盾する。

ゆえに、

a=3n (nは整数)

すなわち整数aに対してaの二乗が3の倍数ならば、a自身3の倍数である。

$\sqrt{3}$

を有理数と仮定すると、

$\sqrt{3}=\frac{m}{n}$ (m, nは正の整数、(m,n)=1(mとnは互いに素、すなわち既約分数))

と書くことができる。このとき、

$3n^{2}=m^{2}$

となり、上記のことからmは3の倍数である。

よって

$3n^{2}=9m_{0}$ (m_{0}は整数)

すなわち、

$n^{2}=3m_{0}$

となり、同様に上記のことからnも3の倍数となる。

これは(m,n)=1という仮定と矛盾する。

ゆえに

$\sqrt{3}$

は無理数である。

$\sqrt{6}$

が有理数であると仮定すると、

$\sqrt{6}=\frac{m}{n}$ (m,nは正の整数、(m,n)=1)

と書くことができる。

このとき、

$6n^{2}=m^{2}$

となり、上記のことからmは3の倍数である。

よって

$6n^{2}=9m_{0}$ (m_{0}は整数)

すなわち、

$2n^{2}=3m_{0}$

となり、左辺は3の倍数、すなわちnの二乗は3の倍数となる。

よって上記のことからnは3の倍数となる。

これは(m,n)=1 (mとnは互いに素)という仮定と矛盾する。

ゆえに、

$\sqrt{6}$

は無理数である。

(証明終)

数学読本を終えて、解析入門に突入してからまだ2日目なのでいまいちペースが掴みきれてない。

どれくらいのペースで読んだり、問題を解いたりして進めれば心地いいか、空き時間にしっくりくるか模索しながら取組中！

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2011年2月23日水曜日