問題1.1
2.

%3D3n_%7B0%7D%2B1)
z=xy
が有理数だと仮定する。xは0でない有理数なので、この両辺をxで割ると、
z/x = y
となる。有理数/(割る)有理数は有理数なので、yは有理数となる。
問題のyは無理数であるという仮定と矛盾する。
ゆえに、xyは無理数である。
3.
aが3の倍数でないと仮定する。
a=3n+1 (nは整数)
のとき、
(n_{0}は整数)
よってaの二乗が3の倍数であるという仮定と矛盾する。
a=3n+2 (nは整数)
のとき、
(n_{0}は整数)
よってaの二乗が3の倍数であるという仮定と矛盾する。
ゆえに、
a=3n (nは整数)
すなわち整数aに対してaの二乗が3の倍数ならば、a自身3の倍数である。
を有理数と仮定すると、
と書くことができる。このとき、
となり、上記のことからmは3の倍数である。
よって
すなわち、
となり、同様に上記のことからnも3の倍数となる。
これは(m,n)=1という仮定と矛盾する。
ゆえに
は無理数である。
が有理数であると仮定すると、
と書くことができる。
このとき、
となり、上記のことからmは3の倍数である。
よって
すなわち、
となり、左辺は3の倍数、すなわちnの二乗は3の倍数となる。
よって上記のことからnは3の倍数となる。
これは(m,n)=1 (mとnは互いに素)という仮定と矛盾する。
ゆえに、
は無理数である。
(証明終)
どれくらいのペースで読んだり、問題を解いたりして進めれば心地いいか、空き時間にしっくりくるか模索しながら取組中!
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