問3
のとき、問題の数列は単調増加で、すべてのn(n=1, 2, ・・・)に対して、
となるので上に有界である。よって単調増加で上に有界なので収束する。
のとき、問題の数列は単調減少で、すべてのn(=1, 2, ・・・)に対して、
となるので下に有界である。よって単調減少で下の有界なので収束する。
そして、その求める極限は、
問4
(1)
が成り立つと仮定すると、相加平均>=相乗平均より、
すなわち、
となる。よって帰納法よりすべてのn(=1, 2, ・・・)に対して成り立つ。
(証明終)
(2)
数列
はそれぞれ単調減少で下に有界、単調増加で上に有界なので収束する。その極限値をそれぞれα、βとおくと、
α=(α+β)/2
α=β
(証明終)
問5
nを
を満たす自然数とすれば、
となる。
また、xが無限大に発散する時、nも無限大に発散する。
ここで左辺について、
右辺について、
ゆえに、
が成り立つ。
(証明終)
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