問6
MはRの部分集合なので、
また問題の仮定よりMはある開区間を含むので、
よってベルンシュタインの定理より、
(証明終)
問7
無理数全体はRに対する有理数全体Qの補集合である。また、有理数全体の集合の濃度は
である。
よってRは無限集合、QはRの高々可算な部分集合で、Rに対するQの補集合が無理数全体の集合となり、無理数全体の集合は無限集合である。
ゆえに、命題8より無理数全体の集合は実数全体の集合と対等である。すなわち無理数全体の集合の濃度はアレフである。
(証明終)
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