問4
問題の仮定の集合X, X'が対等、
より、集合Xから集合X'への全単射fが存在する。
Xの各部分集合AにX'の部分集合f(A)を対応させる写像をgとする。
(Pはべき集合)
このとき、X'の任意の部分集合A',B'
が
A'=B'
ならば、fは単射なので、
となる。よって、
よってgは単射である。
P(X')の任意の部分集合A'に対して、gによる逆像
はP(X)の部分集合である。
よってgは全射である。
ゆえにgはP(X)からP(X')への全単射なので、P(X)とP(X')は対等である。
(証明終)
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