"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード など"の第24章(無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード)の24.2(可算集合), 可算集合の性質 (2)の問1, 2を解いてみる。
問1
まず整数g(m,1)を求める。関数gの
(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),・・・
にそれぞれ対応する整数は
1,2,4,7,・・・
よって、
g(m,1)=1+(1+2+3+・・・+m-1)
=1+m(m-1)/2
整数g(1,n)を求める。関数gの
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)・・・
にそれぞれ対応する整数は
1,3,6,10,・・・
よって、
g(1,n)=1+2+・・・+n
=n(n+1)/2
g(m,n)はg(1,n+m-2)にnを加えた数なので
g(m,n)=g(1,n+m-2)+n
=(m+n-2)(m+n-1)/2 + n
となる。
(証明終)
問2
任意の正の整数は0以上の整数k,奇数lによって
と一意的に表すことが出来る。また、k,lはある正の整数m,nによって
k=m-1, l=2n-1
と一意的に表すことが出来る。
よって問題の写像h(m,n)は全単射である。
(証明終)
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