"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード など"の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)の23.2(合同式), 合同式の除法の問5, 6, 7を解いてみる。
問5
二項定理により、
よって、
問4より、各項はpで割り切れる、すなわち上記の式は素数pで割り切れる。ゆえに、
(証明終)
問6
n=kのとき成り立つと仮定すると、
よって数学的帰納法より、問題の合同式は成り立つ。
(証明終)
問7
a=0のときは
1-1=0
でpで割り切れる。a>0のとき、
...
のの各辺を掛けると、
また、仮定よりpは素数で、
より、
(a!,p)=1
ゆえに、
となる。
(証明終)
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