数学学習の記録 431 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.3(1次変換によるいろいろな図形の像), 固有値と固有ベクトル

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.3(1次変換によるいろいろな図形の像), 固有値と固有ベクトルの問25, 26を解いてみる。

問25

(1)

問題の行列の固有多項式は

det

x-2	-1
-2	x-3

$=x^{2}-5x+4$

で2次方程式

$x^{2}-5x+4=0$

を解くと

x=1, 4

よって求める固有値は1および4。

固有値1に対する固有ベクトルを求める。

$2x_{1}+x_{2}=x_{1}$

$2x_{1}+3x_{2}=x_{2}$

これを整理すると、

$x_{1}+x_{2}=0$

$2x_{1}+2x_{2}=0$

よって固有値1に対する固有ベクトルはcを0でない任意の実数として

c×

-1

また、固有値4に対する固有ベクトルは

$2x_{1}+x_{2}=4x_{1}$

$2x_{1}+3x_{2}=4x_{2}$

これを整理すると

$-2x_{1}+x_{2}=0$

$2x_{1}-x_{2}=0$

よって求める固有値4に対する固有ベクトルはcを0でない実数として

c×

(2)

固有多項式

det

x-1	1
-2	x-3

$=x^{2}-4x+5$

2次方程式

$x^{2}-4x+5=0$

4-5=-1<0

よって固有値をもたない。

(3)

固有多項式

det

x-5	6
-3	x+4

$=x^{2}-x-2$

2次方程式

$x^{2}-x-2=0$

を解くと、

x=-1,2

よって求める固有値は-1および2。

固有値-1に対する固有ベクトルを求める。

$5x_{1}-6x_{2}=-x_{1}$

$3x_{1}-4x_{2}=-x_{2}$

$6x_{1}-6x_{2}=0$

$3x_{1}-3x_{2}=0$

よって固有値-1に対する固有ベクトルはcを0でない任意の実数として

c×

となる。

固有値2に対する固有ベクトルを求める。

$5x_{1}-6x_{2}=2x_{1}$

$3x_{1}-4x_{2}=2x_{2}$

$3x_{1}-6x_{2}=0$

よって固有値2に対する固有ベクトルはcを0でない任意の実数として

c×

(4)

固有多項式

det

x-2	-1
-1	x-2

$=x^{2}-4x+3$

2次方程式

$x^{2}-4x+3=0$

を解くと、

x=1,3

よって求める固有値は1および3。

固有値1に対する固有ベクトルを求める。

$2x_{1}+x_{2}=x_{1}$

$x_{1}+2x_{2}=x_{2}$

よって固有値1に対する固有ベクトルはcを0でない任意の実数として

c×

-1

となる。

固有値3に対する固有ベクトルを求める。

$2x_{1}+x_{2}=3x_{1}$

$x_{1}+2x_{2}=3x_{2}$

よって求める固有ベクトルはcを0でない任意の実数として

c×

となる。

(5)

固有多項式

det

x-3	-1
1	x-1

$=x^{2}-4x+4$

2次方程式

$x^{2}-4x+4=0$

を解くと、

x=2

よって固有値は2。

固有値2に対する固有ベクトルを求める。

$3x_{1}+x_{2}=2x_{1}$

$-x_{1}+x_{2}=2x_{2}$

よって求める固有ベクトルはcを0でない任意の実数として

c×

-1

となる。

(6)

固有多項式

det

x-1	1
-2	x+1

$=x^{2}+1$

よって固有値を持たない。

問26

(1)

ベクトル(1,-1)は固有値1に対する固有ベクトルなので、直線

y=-x

上の点はすべて不動点。

不動直線は

y=-x, y=2x+n (nは任意)

(2)

ない。

(3)

不動点はない。

不動直線は

y=x, y1/2 x

(4)

直線

y=-x

上の点はすべて不動点。

不動直線は

y=-x, y=x+n (nは任意)

(5)

不動点はない。

不動直線は

y=-x

(6)

ない。

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2011年1月28日金曜日