"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード など"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.3(1次変換によるいろいろな図形の像), 固有値と固有ベクトルの問25, 26を解いてみる。
問25
(1)
問題の行列の固有多項式は
det
x-2 | -1 |
-2 | x-3 |
で2次方程式
を解くと
x=1, 4
よって求める固有値は1および4。
固有値1に対する固有ベクトルを求める。
これを整理すると、
よって固有値1に対する固有ベクトルはcを0でない任意の実数として
c×
1 |
-1 |
また、固有値4に対する固有ベクトルは
これを整理すると
よって求める固有値4に対する固有ベクトルはcを0でない実数として
c×
1 |
2 |
(2)
固有多項式
det
x-1 | 1 |
-2 | x-3 |
2次方程式
4-5=-1<0
よって固有値をもたない。
(3)
固有多項式
det




よって固有値-1に対する固有ベクトルはcを0でない任意の実数として






x-5 | 6 |
-3 | x+4 |
2次方程式
を解くと、
x=-1,2
よって求める固有値は-1および2。
固有値-1に対する固有ベクトルを求める。
よって固有値-1に対する固有ベクトルはcを0でない任意の実数として
c×
1 |
1 |
となる。
固有値2に対する固有ベクトルを求める。
よって固有値2に対する固有ベクトルはcを0でない任意の実数として
c×
2 |
1 |
(4)
固有多項式
det
x-2 | -1 |
-1 | x-2 |
2次方程式
を解くと、
x=1,3
よって求める固有値は1および3。
固有値1に対する固有ベクトルを求める。
よって固有値1に対する固有ベクトルはcを0でない任意の実数として
c×
1 |
-1 |
となる。
固有値3に対する固有ベクトルを求める。
よって求める固有ベクトルはcを0でない任意の実数として
c×
1 |
1 |
となる。
(5)
固有多項式
det
x-3 | -1 |
1 | x-1 |
2次方程式
を解くと、
x=2
よって固有値は2。
固有値2に対する固有ベクトルを求める。
よって求める固有ベクトルはcを0でない任意の実数として
c×
1 |
-1 |
となる。
(6)
固有多項式
det
x-1 | 1 |
-2 | x+1 |
よって固有値を持たない。
問26
(1)
ベクトル(1,-1)は固有値1に対する固有ベクトルなので、直線
y=-x
上の点はすべて不動点。
不動直線は
y=-x, y=2x+n (nは任意)
(2)
ない。
(3)
不動点はない。
不動直線は
y=x, y1/2 x
(4)
直線
y=-x
上の点はすべて不動点。
不動直線は
y=-x, y=x+n (nは任意)
(5)
不動点はない。
不動直線は
y=-x
(6)
ない。
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