数学学習の記録 430 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.3(1次変換によるいろいろな図形の像), 等長変換と直交行列

2011年1月27日木曜日

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.3(1次変換によるいろいろな図形の像), 等長変換と直交行列の問24を解いてみる。

問24

行列Aを

a	b
c	d

とおくと、行列Aは直交行列なので、

$a^{2}+c^{2}=1,\ b^{2}+d^{2}=1,\ ab+cd=0$

Aの転置行列は

a	c
b	d

となり、これについても

$a^{2}+b^{2}=1,\ c^{2}+d^{2}=1,\ ac+bd=0$

よって

$^{t}AA=$

a	c
b	d

a	b
c	d

$a^{2}+c^{2}$	ab+cd
ab+cd	$b^{2}+d^{2}$

1	0
0	1

また、

$A^{t}A=$

a	b
c	d

a	c
b	d

$a^{2}+b^{2}$	ac+bd
ac+bd	$c^{2}+d^{2}$

1	0
0	1

以上より2×2行列Aが直交行列ならば、

$^{t}AA=A^{t}A=E$

が成り立つ。

(証明終)