"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード など"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.3(1次変換によるいろいろな図形の像), 直線の像の求め方の問16を解いてみる。
問16
(1)
問題の直線の方程式において、y=0とおけばx=3、またx=0とおけばy=3/2。よって直線は(3,0), (0, 3/2)を通る。そして、
1 | 3 |
2 | 4 |
×
3 |
0 |
=
3 |
6 |
1 | 3 |
2 | 4 |
×
0 |
3/2 |
=
9/2 |
6 |
よって求める直線は(3, 6), (9/2,6)を通る。よって求める直線の方程式は
y=6
(2)
x軸は点(0, 0)を通り、方向ベクトルが(1,0)の直線なので、tを媒介変数として
x=t, y=0
と媒介変数表示することが出来る。したがって直線上の点P(x, y)のfに夜像をP'(x', y')とすれば、
x' |
y' |
=
1 | 3 |
2 | 4 |
×
x |
y |
=
1 | 3 |
2 | 4 |
×
t |
0 |
=
t |
2t |
すなわち、
x'=t, y'=2t
この式からtを消去すれば、y'=2x'。ゆえに求める直線の方程式はy=2x。
(3)
一般に点P(x, y)の問題の1次変換fによる像を点P'(x',y')とすれば、
x' |
y' |
=
1 | 3 |
2 | 4 |
×
x |
y |
よって
x |
y |
=-1/2 ×
4 | -3 |
-2 | 1 |
×
x' |
y' |
すなわち、
x=-1/2 (4x'-3y'), y=-1/2 (-2x'+y')
そこで、点P'が直線y=x-6上にあるという条件に上記を大入試、この条件をx', y'で表して整理する。
-2x'+y'=4x'-3y'+12
6x'-4y'+12=0
3x'-2y'+6=0
よって求める像となる直線の方程式は
3x-2y+6=0
(4)
問題の直線は点(0, -4)を通り、方向ベクトルが(1, 3)の直線なので、tを媒介変数として
x=t, y=3t-4
と媒介変数表示することが出来る。したがって直線上の点P(x, y)の1次変換fに夜像をP'(x',y')とすれば、
x' |
y' |
=
1 | 3 |
2 | 4 |
×
x |
y |
=
1 | 3 |
2 | 4 |
×
t |
3t-4 |
=
10t-12 |
14t-16 |
すなわち
x'=10t-12
y'=14t-16
これからtを消去する。
y'=70t-80
7x'=70t-84
7x'-y'+4=0
よって求める像となる直線の方程式は
7x-y+4=0
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