数学学習の記録 423 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.3(1次変換によるいろいろな図形の像), 正則な1次変換による平面・直線・線分の像

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.3(1次変換によるいろいろな図形の像), 正則な1次変換による平面・直線・線分の像の問14, 15を解いてみる。

問14

t=m/(m-n), 1-t=-n/(m-n)

とおけば、

$P(\vec{p})$

は線分ABをm:nに回文する点、

$P'(\vec{p'})$

は線分A'B'を同じ比m:nに外分する点となる。

よって線分ABをm:nに外分する点は、fによって線分A'B'をm:nに外分する点に移る。

(証明終)

問15

$\vec{d}$ を方向ベクトルとする任意の直線のベクトル方程式はは、あるベクトル $\vec{p_{0}}$ によって

$\vec{p}=\vec{p_{0}}+\vec{d}$

と表される。このfによる像を考えると

$\vec{p'}=f(\vec{p_{0}}+\vec{d})$

$=f(\vec{p_{0}})+f(\vec{d})$

$=f(\vec{p_{0}})+\vec{d'}$

となる。よってfによって $\vec{d'}$ を方向ベクトルする直線に移る。

平行な2直線

$l_{1},\ l_{2}$

の方向ベクトルの向きは等しいので、その方向ベクトルをともに $\vec{d}$ とすれば、この2直線のfによる像の直線の方向ベクトルは上記より同じ方向ベクトルの直線に移るので、2直線のfに夜像は平行である。

(証明終)

Kamimura's blog