"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード など"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.2(平面の1次変換), 原点のまわりの回転の問10, 11を解いてみる。
問10
原点を中心とす角60°の回転を表す行列
1/2 | |
1/2 |
角90°の回転を表す行列
0 | -1 |
1 | 0 |
角120°の回転を表す行列
-1/2 | |
-1/2 |
角135°の回転を表す行列
角180°の回転を表す行列
-1 | 0 |
0 | -1 |
角-60°の回転を表す行列
1/2 | |
1/2 |
角-135°の回転を表す行列
また、点(2, 1)にこれらの回転による像はそれぞれ
(-1, 2)
(-2, -1)
問11
(1)
点P(x, y)を原点のまわりに60°回転した点をP'(x', y')とすると、点P(x, y)は点P'(x', y')を原点のまわりに-60°回転した点で、
x=x'cos 60° + y'sin 60°
y=-x'sin 60° + x'cos 60°
すなわち、
よって、点P(x, y)が直線x+y=1上にあるという条件をx', y'で表せば、
ゆえに、求める直線を60°だけ回転して得られる直線の方程式は
(2)
点P(x, y)を原点のまわりに30°回転した点をP'(x', y')とすると、点P(x, y)は点p'(x', y')を原点のまわりに-30°回転した点で、
x=x'cos 30°+y'sin 30°
y=-x'sin 30°+y'cos 30°
すなわち、
よって、点P'(x, y)が楕円
上にあるという条件をx', y'で表せば、
ゆえに 求める楕円を原点のまわりに30°だけ回転して得られる曲線の方程式は
(3)
点P(x, y)を原点のまわりに45°回転した点を点P'(x', y')とすると、点P(x, y)は点P'(x, y)を原点のまわりに-45°だけ回転した点で、
x=x'cos 45°+y'sin 45°
y=-x'sin 45°+y'cos 45°
すなわち
よって点P(x, y)が曲線
上にあるという条件をx', y'で表せば、
よって求める曲線を原点のまわりに45°だけ回転して得られる曲線の方程式は
(放物線)
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