"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード など"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.2(平面の1次変換), 1次変換の逆変換の問7, 8, 9を解いてみる。
問7
問題の行列式は
より一次変換fは逆変換を持つ。よってもとめるfに夜像が点(-13,7)となる点を(x, y)とおくと
x |
y |
=-1/2 ×
-2 | -4 |
-3 | -5 |
×
-13 |
7 |
=
1 |
-2 |
ゆえに求める点は(1, -2)
問8
1次変換f, gの行列をそれぞれA, Bとすると合成変換
の行列はABとなる。また、仮定よりA, Bは逆変換をもつので、
となる。以上より、
問9
fの逆変換がf時死因であることは
が恒等変換であることと同値なのでこのことを証明すればよい。問題の仮定より、2つのベクトル
は0ベクトルではなく平行でないので平面上の任意のベクトルは
と表すことが出来る。これをfに代入すると、
さらにこれをfに代入すると、
よって
fの逆変換は、f自身である。
(証明終)
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