数学学習の記録 413 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第21章(もう一つの数学の基盤 - 行列と行列式)の21.3(連立1次方程式と行列式), [付記 2] 行列の積の行列式と行列の逆行列

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第21章(もう一つの数学の基盤 - 行列と行列式)の21.3(連立1次方程式と行列式), [付記 2] 行列の積の行列式と行列の逆行列の問38, 39を解いてみる。

問38

p=aa'+bc'

q=ab'+bd'

r=a'c+c'd

s=b'c+dd'

ps-qr

=(aa'+bc')(b'c+dd')-(ab'+bd')(a'c+c'd)

=ad(a'd'-b'c')-bc(a'd'-b'c')

=(ad-bc)(a'd'-b'c')

問39

(a)

det AB=detE

det A det B=1

よってdet Bは0ではない。

(b)

(a)よりBはある逆行列Cをもち、

BC=E

となる。

(c)

BA=(BA)E=(BA)(BC)

=B(AB)C=BEC=BC=E

よって

BA=E

(証明終)